Елена из спортивной семьи— её отец Евгений Остапенко, бывший украинский футболист из Запорожья (здесь живет и ее бабушка) и мать Елена Яковлева которая играла на полулюбительском уровне, а позже стала тренироваться в рижском теннисном клубе ENRI. На Открытом чемпионате Австралии по теннису в одиночном разряде Елена Остапенко, 7-я сеянная, не смогла пройти дальше третьего круга, уступив дорогу к чемпионству эстонской теннисистке Анетт Контавейт. Елена Ост работает в техниках felting (валяние), nuno felting (валяние на ткани).
Постепенно шлифуя свою игру, латвийская спортсменка стала улучшать качество своих результатов играя всё более статусные соревнования: осенью 2011 года в паре с Катериной Синяковой она добралась до полуфинале статусного турнира G1 в американском Брейдентоне, а в январе следующего года и дебютировала на юниорских турнирах Большого шлема (на Australian Open). Несколько недель спустя к этому результату был добавлен четвертьфинал 50-тысячника в Жуэ-ле-Тур, финал на 25-тысячнике в Польше (в одиночном разряде) и полуфинал 100-тысячника в Пуатье в паре. Эта серия успехов позволила латвийской спортсменке впервые преодолеть рубеж Top200, заняв 165-ю строчку.
На стабилизацию результатов и выход на новый уровень конкурентоспособности ушло два сезона: в 2013 году Остапенко впервые добралась до четвертьфинала на турнирах Большого шлема, выиграла несколько соревнований G1, а через год пробилась в Top10 рейтинга, выиграв первый в истории латвийского женского тенниса юниорский турнир Большого шлема— на Уимблдоне. Все эти успехи позволили Елене к концу сентября впервые войти в Top100. В конце 2014 года результаты латвийской спортсменки постепенно стали выходить на иной уровень: в сентябре она дебютировала в основе турниров ассоциации: в Ташкенте, где, воспользовавшись специальным допуском в основу, переиграла в первом круге Шахар Пеер.